利用LINGO进行线性规划问题敏感性分析的报告解读

摘 要： 线性规划是生产生活中追求目标最优化的重要手段，LINGO作为解决规划问题的主要软件，其作用已延伸到建模、分析等领域，不仅可以简化计算过程，而且可以为我们进一步研究线性规划问题各参数、变量之间的内在联系给出明确的答案。

关键词： LINGO 敏感性分析 报告解读

线性规划问题由目标函数及约束条件构成，对一个线性规划问题的求解往往只限于追求其目标函数的最佳值和相应目标函数中决策变量的最优解。但是在实际应用中，我们需要对影响目标函数值的一系列因素进行研究，我们把这个过程叫做敏感分析。而LINGO软件是最适合对线性规划问题做敏感分析的软件，其中对敏感性分析报告的正确解读是我们如何把握某一具体线性规划模型的关键。

一、影子价格（对偶价格）的经济意义

奶制品生产计划问题：一奶制品加工厂用牛奶生产A■、A■两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12h加工成3kg A■，或者在乙车间用8h加工成4kg A■。根据市场需求，生产出的A■、A■都能售出，且每千克A■获利24元，每千克A■获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480h，并且甲车间的设备每天最多能加工100kg A■，乙车间设备的加工能力可以认为没有上限限制（即加工能力足够大）。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下附加问题：若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

报告解读：

（一）最优解的解读

最优解是x■=20，x■=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A■，30桶牛奶生产A■，可获最大利润3360元。

（二）影子价格的经济意义

首先，3个约束条件的右端不妨看做三种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中SLACK OR SURPLUS给出这三种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零（即约束为紧约束），车间甲尚余40kg加工能力（不是紧约束）。

其次，目标函数可以看做是“效益”，称为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然随之提高。输出中DUAL PRICES给出这三种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时，利润增长48元，劳动时间增加1个单位（1h）时，利润增长2元，而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里“效益”的增量可以看做“资源”的潜在价值，经济学上称为“影子价格”（shadow price），即1桶牛奶的影子价格是48元，1h劳动的影子价格是2元，车间甲生产能力的影子价格是0。聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是2元/h。

（三）影子价格的进一步探讨

现在我们可以提出这样一个问题：若用35元可以买到1桶牛奶，是否做这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

根据影子价格的含义，我们马上可以得出这样的结论：用35元可以买到1桶牛奶，低于48元1桶的影子价格，当然应该做这项投资。

进一步追问：根据“RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：”中“allowable increase”的描述，当“MILK原料最多增加10桶”时，是不是仍可保证目标函数是最优值？答案是不确定。

二、目标函数多因素条件改变下的百分百法则

门窗生产计划：某工厂要生产两种新产品：门和窗，经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。而且根据经市场调查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有的新产品都能销售出去。如果门和窗的单位利润都发生变化，最优解会不会发生变化？对总利润又会产生怎样的影响？

当目标函数的两个系数同时改变的时候，要判断是否会改变最优解和目标函数值，应通过百分之百法则确定，即如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，然后将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新规划求解判断。

在这里如果我们假定每扇门的利润增加到450元，而每扇窗的利润降到400元，那么利用百分之百法则，会有：

每扇门的利润变化：300→450

占允许增加量的百分比=■×100%=33.33%

每扇窗的利润变化：500→400

占允许增加量的百分比=■×100%=33.33%

总和=66.7%

因为变动的百分比之和不超过100%，所以可以确定最初的最优解（2，6）没有改变。

参考文献：

[1]Frank R.Giordano，WillamP.Fox.A First Course in Mathematical Modeling，4th edition[M].Brooks/Cole，Cengage Learning，2009：6.

[2]徐稼红.中学数学应用与建模[M].苏州：苏州大学出版社，2001：10，15.

[3]杜建卫，王若鹏.数学建模基础案例[M].北京：化学工业出版社，2009.

[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2008：157-158.

[5]刘银萍.关于大学数学的创造性思维教学模式的探讨[J].大学数学，2003.

[6]龚妙昆.高等数学语言中的时序要素[J].大学数学，2003.