浅谈数形结合的思想方法

华罗庚教授曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”准确地描述了数与形之间的关系，数与形是对立统一的两个方面，数是形的抽象概括，形是数的直观体现。数形结合是

数学教学的一种思想方法，也是中学数学教学的基本要求之一。

笔者从学生平时的练习及检测中发现，多数学生不能较好地运用数量关系或代数形式来描述“形”的问题，同时也不能较好地对“数或式”进行几何解释。这就要求教师要将“数形结合”的思想方法渗透到日常的数学教学中去，渗透到解决问题的过程中去，有意识地培养学生数形结合的思想方法，在数学解题中培养学生将形的问题转化为代数问题来处理，即以“数论形”；将数的问题用形来直观描述，即以“形究数”。

一、重视以“数”论“形”。

以“数”论“形”就是“形”的代数表示，这是学生掌握数形结合思想的一个重要方面，使学生养成运用数量关系、代数形式等研究图形性质的习惯。例如：

1、图是直角边长为1的等腰直角三角形，根据已有的知识，你知道哪些与这个图形有关的数据信息？

明确：根据图形的特点，利用勾股定理可知，这个直角三角形的斜边长是■；斜边上的高和中线长均是■；周长是2+■；面积是■；两个锐角都是45°

2、用■表示单位正方形的对角线长，■表示两直角边长分别为1和■的直角三角形的斜边长，启发学生■、■、■等分别表示两直角边长分别是多少的直角三角形？同时启发学生如何画出长为■、■、■的线段？使学生感受“数”与“形”的内在联系，感受数学的整体性。

3、（衡阳市的一道中考题）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量X（吨）与应付水费Y（元)的函数关系如图

（1）当月用水量不超过5吨时，Y与X之间的函数关系式。

（2）民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少？

分析：由图像可知，这个图像是分段的，即0≤x≤5,x≥5、前者是正比例函数，后者是一次函数，由图像提供的信息来确定正比例函数和一次函数关系式，问题就顺利解决。在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理，注意“数形结合”，根据图形提供的信息以“数论形”。

二、重视以“形”究“数”。

以“形”究“数”就是“数或式”的几何解释，是逐渐掌握数形结合思想的另一个重要方面，教材中给出了大量素材。例如：

1、用数轴上的点表示有理数，绝对值的几何意义等。

2、函数图象。如用直线表示Ｙ＝ｋＸ＋ｂ（k≠0），用双曲线表示Ｙ=■（k≠0）,用抛物线表示Ｙ=ａx2＋ｂＸ＋c（a≠0）。

3、方程的几何解释。如、方程ax2+bx+c=0（a≠0）根就可以用抛物线Ｙ=ａx2＋ｂＸ＋c（a≠0）。与X轴的交点的横坐标来表示；X=a(a为常数）就可以用一条平行与Y轴的直线来表示。再如、用作图像的方法解二元一次方程组x-2y=-22x-y=2

让学生明确用作图像法来解方程组的步骤如下:

（1）将二元一次次方程化为一次函数的形式；

（2）在直角坐标系中画出两个一次函数图象，并标出交点；

（3）交点坐标就是二元一次方程组的解

通过这样的练习，引导学生掌握利用函数图象求二元一次方程组的解法，培养学生的探究能力，发展学生“数形结合”的探究意识。

4、勾股定理的证明。用4个全等的直角三角形——它的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，让学生动手拼图，通过对定理中的关系式ax2+bx+c=0左右两边的式子做出几何解释，可获得有关证明方法。如、公式右边可表示边长为c的大正方形的面积，公式左边可表示4个全等的直角三角形的面积与边长为（a-b)的正方形的面积和。勾股定理的证明过程体现了“数与形”的有机结合，同时也培养了学生动手实践、自主探究的意识与能力。教学中有意识地引导学生重视用“形”来表示数、式、方程等，无疑有利于学生数形结合思想的形成与发展。

综上所述，真正让学生掌握数形结合的思想方法，有意识地将数与形结合起来思考问题，需要我们在平时的教学中有意识地渗透数形结合的思想方法，指导学生用数形结合的思想方法去解决实际问题，提高解题能力。