运用数学思想解决排列组合问题

排列组合是当今发展很快的组合数学的最初步的知识。这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的。它不仅应用广泛,而且思想方法独特灵活,也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。下面谈谈数学思想在排列组合问题中的运用。

(一)化归思想

化归思想指的是变更转化的解题思想,即将条件或结论经过适当的转化,整个命题就可以变更为我们熟知的一些常见问题。

例1:(1993年全国)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有[]

A.6种B.9种 C.11种 D.23种

思路分析:建立数学模型转化为数学问题。用1,2,3,4这四个数字组成无重复的四位数,其中1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位的四位数共有几个?

解法1(枚举法):列出所有可能情况。

214323412413

314234213412

412343124321

∴一共9种

解法2:个位数只能2,3,4三个数中任选一个,有三种选法,当个位数选定2后,十位数只能从1,3,4中任选1个,有3种选法;此时百位数,千位数已确定。类似地,当个位数选定3后,情况仍一样。共有3×3=9种。

(二)分类思想

把一个复杂思想通过正确划分,进行合理分类转化为若干小问题予以各个击破,这是高考中考查的最重要的数学思想方法之一。

例2:(2007年全国)从班委会5名成员中,选出3名分别担任班级学习委员,文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有()个。

思路分析:可考虑甲乙二人是否被选入手,分成三类。

解:第一类:甲乙二人都被选上有A22 ·A13=6种选法;

第二类:甲乙二人中恰有1人被选上有A12·A12·A23=24种选法;

第三类:甲乙二人都未被选上有A33 =6 种选法;

∴共有 6+24+6=36种

说明:分类要做到不重不漏,每一类办法都能独立完成任务,类类之间是并列关系。

(三)对称思想

对称思想在思想数学中广泛应用,挖掘数学问题中隐含的对称性,运用对称思想,往往得到意想不到的简捷解法。

例3: (1990年全国)A,B,C,D,E五人并排站成一排,若B必须站在A的右边(A,B可以相邻),那么不同的排法共有〔〕

A.24种B.60种C.90种D.120种

思路分析:该题若用通法,需按A站的位置分成4类,较繁;若用对称性,则出人意料的简单。

通法(分类法):第1类:A站左边第1位,有A44=24种排法;

第2类:A站左边第2位,有A31.·A33=18种排法;

第3类:A站左边第3位,有A21·A33=12种排法;

第4类:A站左边第4位,有A33=6种排法;

所以,共有24+18+12+6=60种,故选B。

对称法:不考虑限制A,B,C,D,E五人并排站成一排共有A55种方法,由对称性可知,B在A右边与B在A左边的机会相等,应得排法为1/2,A55=60种。

(四)逆向思想

很多问题正面求解困难重重,但若从反面考虑,就会“柳暗花明”。

例4: (2008年四川)从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙至少有1人参加,则不同的先法共有〔〕

A.70种 B.112种C.140种D.168种

思路分析:若从正面考虑,需分成两类:一类甲、乙二人都参加;另一类甲、乙二人中只有1人参加。若从反面考虑,则简单的多。只需用10名同学中选4名参加活动的不同选法数减去所挑选的4人中没有甲、乙二人的先法数即可。

解:C104-C84=140种。故选C

(五)整体思想

遇到了相邻问题,常用“捆绑法”即将相邻元素看成1个整体。

例5:4名男同学,3名女同学站成一排照相,3名女同学必须相邻,有多少种不同排法?

思路分析:先3名女同学任意排列,再将3名女同学捆绑看成1个整体与4名男同学任意排列。

解:A33·A55=720种。